导数的应用：72法则
「72法则」是一个金融法则，用来计算投资时本金翻倍的时间1，即：多长时间投资的本金会翻一番。
比如：假设最初的投资金额是1万元，复息年利率为6%，那么利用「72法则」：
\[t=\frac{72}{6} = 12\]即：需要12年的时间，投资的1万元本金将会滚存至2万元。
「72法则」的数学模型
「72法则」的背后是“复利计息”的模型，假设最初的本金为 \(a\) 元，复息年利率为 \(x\)，那么 \(t\) 年之后，投资的本金变成了 \(b\) 元，即：
\[b = a\left(1 + x\right)^{t}\]前面提到，「72法则」描述的是投资时本金翻倍的时间，即：当 \(t=t_0\) 时，\(a=2a\)，而 \(t_0\) 就是「72法则」所计算的量，将这个描述变为数学语言：
\[a\left(1 + x\right)^{t_0} = 2a\]「72法则」的模型求解
将上面的式子从应用的实际背景中抽象出来，其实现在就是将 \(t\) 从下面的的式子中解出来：
\[a\left(1 + x\right)^{t} = 2a\]由于要求的是指数部分，所以自然想到对等式的左、右两边同时取对数：
\[t\ln\left(1 + x\right) = \ln2\]那么，这时就可以将 \(t\) 解出来：
\[t = \frac{\ln2}{\ln\left(1 + x\right)}\]其实，上面这个式子就是严谨意义上的「72法则」，不过，实际生活中去简单应用时，完全用不到那么精确，所以下面需要对这个式子进行一定程度的简化，得到日常生活中常用的那个「72法则」：
首先，\(\ln 2 \approx 0.693\)，那么就可以将式子中分子部分的 \(\ln 2\) 直接用 \(0.69\) 去替代：
\[t = \frac{0.693}{\ln\left(1 + x\right)}\]接着，利用导数的定义：
\[f^{\prime}(x_0) = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x}, \quad \Delta x \to 0\] \[f(x) =f(x_0) + f^{\prime}(x_0)(x - x_0), \quad x \to x_0\]对式子中分母部分的 \(\ln\left(1 + x\right)\) 在 \(x = 0\) 附近做一个线性近似「linear approximations」：
\[\ln\left(1 + x\right) \approx \ln(1 + 0) + \frac{1}{1+0}\cdot(x - 0)=x\]因为前面提到过 \(x\) 表示年利率，通常为百分之几左右，所以在 \(x = 0\) 附近做线性近似是合理的。
最后，将 \(\ln\left(1 + x\right)\) 线性近似的结果回代入式子中，同时去掉年利率 \(x\) 的百分号，即可得到「72法则」最终的简化表达形式：
\[t = \frac{69.3}{x}\]可能到这有的人会奇怪，不是说是「72法则」吗？怎么没看到式子中出现72,那为什么不直接叫「69.3法则」？其实，金融学上也有所谓「71法则」、「70法则」和「69.3法则」,它们和「72法则」一样都是来源于同一个模型的同一个公式，之所以选用72，是因为它有较多因数，容易被整除，更方便计算[1]。
「72法则」的其他应用
其实理解了「72法则」背后的原理——“复利计息”的模型。就可以发现「72法则」除了前面提到的应用之外，还有许多其他的应用（只要是“复利计息”的模型，都可以利用到「72法则」）。
比如：用「72法则」来计算货币的贬值速度。假设通货膨胀率是3%，那么：
\[t = \frac{72}{3} = 24\]24年后你一元钱就只能买五毛钱的东西了。
后记
很久之前，在阅读《小狗钱钱》2时，第一次接触了到了「72法则」，当时就惊叹于这个法则虽然简洁，但却十分有效。所以就对其背后的数学原理起了兴趣，究竟最初那些金融学家们是如何得出这样的法则的呢？当时尝试求解过一次，但是无功而返。最近在回顾微积分知识（导数部分）的时候，又突然想起了这个法则，并再次尝试求解，最终还是解决了这个问题。也算是念念不忘了，哈哈哈🤣。
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